ストークスの式

こんにちは、ヘルメット犬(@helmet_dog)です。

この記事では

について整理します!

ストークスの式とは

ストークスの式とは

粒子が流体中を沈降するときに最終的に到達する速度を表す式

になります。

例えば、スカイダイビングすると、最初は加速しながら落下しますが、最終的には一定速度になります。

これが流体中の粒子でも起きているわけですね。最終的に到達する速度を終末沈降速度と言います。

終末沈降速度を表す式には代表的なものとして3つあります。

＜各記号の意味＞

3つの式はレイノルズ数(Re)に応じて使い分けられます。
Reは流体における慣性力と粘性力の比を表す次元のない数字(無次元数)です。
簡単に言えば、値が大きいほど流体の流れが乱れていることを表します。

Re = \frac{d v ρ}{μ}

レイノルズ数を表す式

表に従えば、Reが1以下の小さい領域、すなわち流れの乱れがすくない領域でストークスの式が使えるわけですね!

実際、排水処理の沈殿池(粒子を沈殿させる池のような設備)で取り扱う粒子は直径d、沈降速度vが小さい、すなわちReが小さく、ほとんどストークスの式に従います。

よって、ストークスの式が最も重要で、試験にも出題されやすい内容になります。

では、ストークスの式はどのように導かれるのでしょうか。

流体中を沈降する球体上の粒子を考えます。

粒子が終末沈降速度v_sに達している時、等速直線運動となっているため、力のつり合いは以下のようになります。

F_{g} = F_{v} + F_{b}

　…（※）

それぞれの力を具体的に式で表すと、

重力

F_{g}

＝粒子体積 × 粒子密度 × 重力加速度

= \frac{4 π r^{3}}{3} ρ_{p} g

= \frac{π D_{p}^{3}}{6} ρ_{p} g

浮力

F_{b}

＝粒子体積 × 流体密度 × 重力加速度

= \frac{4 π r^{3}}{3} ρ_{f} g

= \frac{π D_{p}^{3}}{6} ρ_{f} g

粘性力

F_{v}

＝

6 π μ r v_{s}

= 3 π μ D_{p} v_{s}

ここで、粘性力は流体の運動を記述するナビエ・ストークス方程式を解くことで得られる関係です。

\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν \nabla^{2} v + g

Wikipedia “ナビエ–ストークス方程式”

詳細の導出は難しく、割愛していますが(導出する気になりません)、

をわかっていただければOKかと思います。

さて、(※)にそれぞれ式を代入し、v_sについて解くと

v_{s} = \frac{g (ρ_{p} - ρ_{f}) D_{p}^{2}}{18 μ}

となり、ストークスの式が導出できました!

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